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一类曲线定义

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给定曲线的参数方程
\[\begin{cases}x=x(\theta)\\y=y(\theta)\end{cases}\]
对于曲线上一点$A(x(\theta_0),y(\theta_0))$,及平面上一点$S(a(\theta_0),b(\theta_0))$,过$S$作曲线在$A$点的切线的垂线,垂足为$B(x_1,y_1)$,求$B$点轨迹方程。
$A$点处曲线的切线$l$的切线方程为
\[y=y(\theta_0)+\frac{y^{’}(\theta_0)}{x^{’}(\theta_0)}(x-x(\theta_0))\]
又$BS\perp{AB}$,从而
\[\frac{y_1-b(\theta_0)}{x_1-a(\theta_0)}\cdot\frac{y^{’}(\theta_0)}{x^{’}(\theta_0)}=-1\]
从上面两式中解出
\[\begin{cases}x_1=\frac{b(\theta_0)x^{’}(\theta_0)y^{’}(\theta_0)-y(\theta_0)x^{’}(\theta_0)y^{’}(\theta_0)+x(\theta_0)[y^{’}(\theta_0)]^2+a(\theta_0)[x^{’}(\theta_0)]^2}{[x^{’}(\theta_0)]^2+[y^{’}(\theta_0)]^2}\\ y_1=\frac{b(\theta_0)[y^{’}(\theta_0)]^2+y(\theta_0)[x^{’}(\theta_0)]^2-x(\theta_0)x^{’}(\theta_0)y^{’}(\theta_0)+a(\theta_0)x^{’}(\theta_0)y^{’}(\theta_0)}{[x^{’}(\theta_0)]^2+[y^{’}(\theta_0)]^2}\end{cases}\]
下面给出一些特殊情形下$B$点轨迹方程:
1) 令$a=0,b=0,x(\theta)=r\cos\theta,y(\theta)=r\sin\theta$,即$A$为半径为$r$的圆上的动点,则$x^{’}(\theta)=-r\sin\theta$,$y^{’}(\theta)=r\cos\theta$,$B$点轨迹方程为
\[x_1=\frac{1}{r^2}(r^3\sin^2\theta_0\cos\theta_0+r^3\cos^3\theta_0)=r\cos\theta_0=x(\theta_0),\]
\[y_1=\frac{1}{r^2}(r^3\sin^3\theta_0+r^3\cos^2\theta_0\sin\theta_0)=r\sin\theta_0=y(\theta_0),\]
即$A$点与$B$点重合。
2) 令$a=0,b=0,x(\theta)=\mu\theta\cos\theta,y(\theta)=\mu\theta\sin\theta$,$\mu>0$,即$A$为阿基米德螺线上的动点,则
\[x^{’}(\theta)=\mu(\cos\theta-\theta\sin\theta)\]
\[y^{’}(\theta)=\mu(\sin\theta+\theta\cos\theta)\]
则$B$点轨迹方程为
\[x_1=\frac{\mu\theta_0^2(\theta_0\cos\theta_0+\sin\theta_0)}{1+\theta_0^2}\]
\[y_1=\frac{\mu\theta_0^2(\theta_0\sin\theta_0-\cos\theta_0)}{1+\theta_0^2}\]
易知当$\theta_0\to{\infty}$时,$B$点和$A$很靠近。
3) 令$a=0,b=1,x(\theta)=\theta,y(\theta)=\cos\theta$,即$A$为余弦曲线上的动点,则
\[x^{’}(\theta)=1\]
\[y^{’}(\theta)=-\sin\theta\]
则$B$点轨迹方程为
\[x_1=\frac{-\sin\theta_0+\cos\theta_0\sin\theta_0+t\sin^{2}\theta_0}{1+\sin^{2}\theta_0}\]
\[y_1=\frac{\sin^{2}\theta_0+\cos\theta_0-t\sin\theta_0}{1+\sin^{2}\theta_0}\]
问题:除了上述情况1)外,有没有曲线使得对应的$B$的轨迹与该曲线是同型的?即$A$与$B$是同种类型的曲线?
问题二:求一条曲线及其“内部”一点,使得经过该点的弦两端点处切线同该弦围成的三角形面积为固定值?或者三角形的周长为固定值?

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