1. 令$A(0,a)$，$a>0$，$B(x_0,0)$上动点，连$AP$，在$AP$上找点$P$，使得$|PB|=\alpha|x_0|$，则$P$点的轨迹方程
\[(\alpha^2a^2-y^2)x^2=(a-y)^2y^2.\]
参数方程为
\[\begin{cases}x=x_0-\frac{\alpha{x_0}|x_0|}{\sqrt{a^2+x_0^2}}\\y=\frac{\alpha{a}|x_0|}{\sqrt{a^2+x_0^2}}\end{cases}\]
当$\alpha=1$时，轨迹方程为：
\[(a+y)x^2=(a-y)y^2.\]
图形包含的面积为$(\pi-2)a^2$.
2. 圆$o$半径为$r$，圆心在原点，$A(r,0)$, $B$, $C$关于$x$轴对称，$B(r\cos\theta,r\sin\theta)$为圆$o$上动点，过$C$作$AB$连线的垂线，则垂足$P$的轨迹为
\[\begin{cases}x=r(\sin^2\theta+\cos\theta)\\y=-r\sin\theta\cos\theta\end{cases}.\]
3. 过原点作$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$在$M(a\cos\theta,b\sin\theta)$处切线的垂线，则垂足$P$的方程为
\[\begin{cases}x=\frac{ab^2\cos\theta}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}\\y=\frac{a^2b\sin\theta}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}\end{cases}\]
4. 圆弧半径为$r$，角度范围$[0,\theta]$，当$\theta$在$[0,2\pi]$上变化时，圆弧的重心的轨迹方程为
\[\begin{cases}x=\frac{r\sin\theta}{\theta}\\y=\frac{2r\sin^2{\frac{\theta}{2}}}{\theta}\end{cases}\]
5. 圆$o$半径为$r$，$A(r\cos\theta,r\sin\theta)$为圆上动点，$B$是$A$关于$x$轴的对称点，过$B$作圆$o$在$A$点切线的垂线，垂足为$P$，其轨迹方程为
\[\begin{cases}x=r\cos\theta(1+2\sin^2\theta)\\y=r\sin\theta(1-2\cos^2\theta)\end{cases}\]
6. 圆$o$半径为$r$, $A(r\cos\theta,r\sin\theta)$为圆上动点，$AB\perp{x}$轴，$B$为垂足，过$B$分别作$Ao$和$A$处切线的垂线，垂足分别为$C$和$D$，则$C$和$D$的轨迹为
\[C:\begin{cases}x=r\cos^3\theta\\y=r\sin\theta\cos^2\theta\end{cases}\]
\[D:\begin{cases}x=r\cos\theta(1+\sin^2\theta)\\y=r\sin^3\theta\end{cases}\]
7. 圆$o$半径为$r$, $A(r\cos\theta,r\sin\theta)$为圆上动点，$AB$为直径，$C$与$B$关于$y$轴对称，过$C$作$AB$的垂线，垂足为$D$，则$D$的轨迹为
\[\begin{cases}x=r\cos\theta\cos2\theta\\y=r\sin\theta\cos2\theta\end{cases}\]
一般方程为\[(x^2+y^2)^3=r^2(x^2-y^2)^2。\]
8. 圆$o$半径为$r$, $A(r\cos\theta,r\sin\theta)$为圆上的固定点，一根绳子长$s(\ge{4r})$，将绳子一端固定在$A$点，将绳子中间某点$B$沿着圆周运动，使得$AB$为圆的一条弦，绳子的另一端$C$始终垂直向下，则$C$的轨迹方程为
\[\begin{cases}x=r\cos\phi\\y=r(\sin\theta+2|\sin\frac{\theta-\phi}{2}|)-s\end{cases}\]
下面给出一些不同位置$A$点对应的$C$的轨迹
$A(r,0)$
$A(0,r)$
$A(\sqrt{2}r/2,\sqrt{2}r/2)$
$A(0,-r)$
$A(\sqrt{2}r/2,-\sqrt{2}r/2)$
