令$\phi_0(x)=x+x^2+\cdots+x^n=\frac{x-x^{n+1}}{1-x}$，$\phi_m(x)=x\phi_{m-1}^{’}(x)=x+2^mx^2+\cdots+n^mx^n$，可得
\[\phi_1(x)=\frac{x-(n+1)x^{n+1}+nx^{n+2}}{(1-x)^2}，\]
\[\phi_2(x)=\frac{x+x^2-(n+1)^2x^{n+1}+(2n^2+2n-1)x^{n+2}-n^2x^{n+3}}{(1-x)^3}，\]
\begin{align*}
\phi_3(x)=&[x+4x^2+x^3-(n+1)^3x^{n+1}+(3n^3+6n^2-4)x^{n+2}\\
&-(3n^3+3n^2-3n+1)x^{n+3}+n^3x^{n+4}]/[(1-x)^4]，
\end{align*}
令$\phi_m(x)=\frac{f_m(x)}{(1-x)^{m+1}}$，则
\[f_m(x)=x[(1-x)f_{m-1}^{’}(x)+mf_{m-1}(x)]，f_0(x)=x-x^{n+1}。\]
对$m\ge{1}$，令$g_m(x)$为$f_m(x)$中系数与$n$无关的部分，则
$g_1(x)=x$，
$g_x(x)=x+x^2$，
$g_3(x)=x+4x^2+x^3$，
$g_4(x)=x+11x^2+11x^3+x^4$，
$g_5(x)=x+26x^2+66x^3+26x^4+x^5$，
$g_6(x)=x+57x^2+302x^3+302x ^4+57x^5+x^6$，
成立
\[g_m(x)=x[(1-x)g_{m-1}^{’}(x)+mg_{m-1}(x)]。\]
设$g_m(x)$的系数按$x$的阶数从低到高为$a_m^1,a_m^2,\cdots,a_m^m$，则成立对称性$a_m^i=a_m^{m+1-i}$。这可由递推公式
\[a_m^i=(m+1-i)a_{m-1}^{i-1}+ia_{m-1}^i\]
和数学归纳法得到。下面给出$g_m(x)$的系数表：
由$g_1(1)=1$和$g_m(1)=mg_{m-1}(1)$得$g_m(1)=m!$，即成立
\[\sum\limits_{i=1}^ma_m^i=m!\]
这给出了阶乘的“帕斯卡三角”。