数学之美

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在大多数人眼中,数学是神秘的,学数学的人是古怪的。确实,数学,特别是理论数学在现实中很少有应用之处,数学专业之外的人一生几乎都不会接触到它。那么为什么还是有很多人(此处主要指国外的)对数学研究非常痴迷呢?我想他们是爱上了数学的美吧。 此处仅举一例。著名的“费马大定理”于1995年被美国的一位数学教授Andrew Wiles证明了。他于1986年发现了证明“费马大定理”的途径,然后开始了长达7年非常艰苦的个人努力过程,期间他几乎不参加任何学术讨论,业余时间全身心投入到研究工作中。7年中只有他妻子知道他在研究“费马大定理”。最终1993年他宣布证明了“费马大定理”,后来其他数学家发现他的证明有“漏 […]

一些有趣的结论

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本文内容摘自多个数学参考书 1. 所有素数的倒数和发散:$\sum\limits_p\frac{1}{p}=+\infty$。 证明:令$N$为任意自然数,$\forall n< N$,将$n$唯一表示成素数的方幂的乘积,则由$\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{p^k}=\frac{1}{1-1/p}$得, \[\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n}\le{\prod\limits_{p\le{N}}\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{p^k}}=\prod\limits_{p\le{N}}\fra […]

阶乘数对应的帕斯卡三角

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令$\phi_0(x)=x+x^2+\cdots+x^n=\frac{x-x^{n+1}}{1-x}$,$\phi_m(x)=x\phi_{m-1}^{’}(x)=x+2^mx^2+\cdots+n^mx^n$,可得 \[\phi_1(x)=\frac{x-(n+1)x^{n+1}+nx^{n+2}}{(1-x)^2},\] \[\phi_2(x)=\frac{x+x^2-(n+1)^2x^{n+1}+(2n^2+2n-1)x^{n+2}-n^2x^{n+3}}{(1-x)^3},\] \begin{align*} \phi_3(x)=&[x+4x^2+x^3-(n+1)^3x^{n+ […]

一类曲线定义

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给定曲线的参数方程 \[\begin{cases}x=x(\theta)\\y=y(\theta)\end{cases}\] 对于曲线上一点$A(x(\theta_0),y(\theta_0))$,及平面上一点$S(a(\theta_0),b(\theta_0))$,过$S$作曲线在$A$点的切线的垂线,垂足为$B(x_1,y_1)$,求$B$点轨迹方程。 $A$点处曲线的切线$l$的切线方程为 \[y=y(\theta_0)+\frac{y^{’}(\theta_0)}{x^{’}(\theta_0)}(x-x(\theta_0))\] 又$BS\perp{AB}$,从而 \[\frac{y […]

MM算法

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前面介绍过EM算法,本文中介绍的MM算法是EM算法的一种更一般形式。当需要优化的问题很复杂,不能得到封闭形式的解时,一个好的数值解通常是需要的。MM算法将原优化问题转化为一系列的简单优化问题,使得问题的求解变得简单。MM的名称起着两个作用:对于最小化问题,分别代表Majorize和Minimize;对于最大化问题,分别代表Minorize和Maximize。后面介绍Majorize和Minorize的概念。 MM算法用一系列简单的优化问题代替一个困难的优化问题。简单体现在(1)避免大矩阵求逆,(2)线性化优化问题,(3)分离优化问题的参数,(4)更优雅的处理等式和不等式约束,(5)将一个不可微 […]

一些有趣的曲线

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1. 令$A(0,a)$,$a>0$,$B(x_0,0)$上动点,连$AP$,在$AP$上找点$P$,使得$|PB|=\alpha|x_0|$,则$P$点的轨迹方程 \[(\alpha^2a^2-y^2)x^2=(a-y)^2y^2.\] 参数方程为 \[\begin{cases}x=x_0-\frac{\alpha{x_0}|x_0|}{\sqrt{a^2+x_0^2}}\\y=\frac{\alpha{a}|x_0|}{\sqrt{a^2+x_0^2}}\end{cases}\] 当$\alpha=1$时,轨迹方程为: \[(a+y)x^2=(a-y)y^2.\] 图形包含的面积为$(\p […]

变量选择方法综述(二)

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前文介绍了变量选择方法初期的发展情况。近几十年,新的方法逐渐发展起来。初期的变量选择方法需要首先选出显著变量(即对响应变量影响显著的变量),然后再估计对应的回归系数。一些新的变量选择方法,通过对回归系数添加惩罚,在实现变量选择的同时,也可以进行估计。下面主要介绍Lasso,Adaptive Lasso(aLasso)和SCAD方法。首先提出先知估计(Oracle estimation)的概念,即模型的显著变量在预先知道的情况下给出的模型的估计,这在实际中是不可能的,所以叫做先知估计,但是可以证明下面的aLasso和SCAD方法的结果与先知估计一样好,即它们具有先知性质(Oracle prope […]

变量选择方法综述(一)

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在统计分析中,变量选择是一个重要问题。在进行统计建模的初期,研究人员为了减小系统误差,会尽量将所有观测到的变量加入模型中,但是,由于大量变量的引入,模型的解释变得很困难,模型也很复杂,其中的很多变量也许是和响应变量无关的,或者对响应变量影响很小,可以从模型中剔除。将大量变量中对响应变量影响效果显著的变量选择出来,这就是变量选择。 简单起见,下面只以一般线性模型为例进行介绍,其他模型下可以相应推广。令 \[y=x^T\beta+\epsilon,\] 其中$y$为响应变量,$x$为$p$维自变量,本文假设其每个分量取连续值。$x^T$表示$x$的转置,$\beta$为未知参数,$\epsilon […]

商业伙伴挑选问题

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Partner selection is an important problem in agile manufacturing and supply chain management. We try to solve it by gene algorithm with embedded fuzzy rules. 1) Problem description Suppose a company won a bid of a big project, which consists of $n$ sub projects. The company can not finish the projec […]

遗传算法

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Gene Algorithm(GA) is a very popular intelligent optimization algorithm. It was proposed by professor John H. Holland and his students of University Michigan at 1960s and 1970s. By evolution of populations, solutions represented by individuals promote the fitness to the environment. After enough gen […]

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